pg下载 1.3 勾股定理的应用 课件（共30张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）
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1.3 勾股定理的应用
勾股定理身为几何学里核心定理当中的一个，这不仅揭示出直角三角形的边际关联，并且在现实生活里有着广泛的运用，自建筑施工一直到航海导航，自日常测量直至空间计算，勾股定理都发挥那个无法替代的作用，本节会经由具体实例，去详细介绍勾股定理在不同场景里的应用办法，帮助你掌握把数学知识转化为解决实际问题的能力。
一、直角三角形的边长计算
已知直角三角形的两条边，求取第三条边长度，此为勾股定理最直接的应用。在测量、工程等诸多领域，这类问题极常见。抓住明确直角边与斜边关系这个关键，灵活运用公式\(a^2 + b^2 = c^2\)及变形来解题。
1. 已知两条直角边求斜边
求一个直角三角形斜边的长度，此三角形的两条直角边分别是5cm以及12cm。
那么，依据勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)，这里面\(a\)的值是\(5\)，\(b\)的值是\(12\)，所以，可得这样的结果：\(c^2\)等于\(5^2\)加上\(12^2\)，也就是\(25\)加上\(144\)，其结果为\(169\)。
所以，\(c\)等于根号下一百六十九，其结果是十三厘米。
答：斜边的长度为 13cm。
2. 已知斜边和一条直角边求另一条直角边
一个梯子斜靠于墙面之上，从梯子顶端直至地面的那段距离也就是其中一条直角边的长度是8米，而梯子整体的长度即斜边的长度为10米之多，那么要去求出梯子底部至于墙的距离是多少。
设，那梯子底部到墙的距离被称作\(a\)，依据勾股定理变形得出的公式\(a^2 = c^2 - b^2\)，这里其中的\(c\)等于\(10\)呀，还有\(b\)等于\(8\)呢，那么就有，\(a^2 = 10^2 - 8^2\)，它就等于\(100 - 64\)，最后等于\(36\)。
因此，\(a = \sqrt{36} = 6\)（m）。
答：梯子底部到墙的距离为 6m。
3. 非整数边长的计算
将一个直角三角形的其中一条直角边设定为\(3\sqrt{2}\)cm，把另一条直角边确定为\(3\sqrt{2}\)cm，探究该直角三角形斜边的长度是多少。
解，依照勾股定理，\(c\)的平方等于\((3\sqrt{2})\)的平方加上\((3\sqrt{2})\)的平方，等于\(9\)乘以\(2\)加上\(9\)乘以\(2\)，等于\(18\)加上\(18\)，等于\(36\)。
因此，\(c = \sqrt{36} = 6\)（cm）。
答：斜边的长度为 6cm。
二、最短路径问题
确定平面当中或者立体图形之内求最短路径之际，勾股定理通常是关键工具。此类问题的核心是把曲面或是折线加以转化来构成直角三角形的边，借助“两点之间线段最短”这样的原理，连带勾股定理去运算最短距离的数值大小。
1. 平面图形中的最短路径
下述示例 4 所示：呈现于某一长方形草坪之中，该长方形草坪的长为 10 米，宽为 6 米，其中 A 与 B 分别为这个长方形草坪的两个对角之所在顶点位置，由此去求取从 A 点至 B 点之处的最短路径之长度。
首先要明确，长方形长与宽，分别属于直角三角形两个不同的直角边，然后呢并且要知道，从A开始到B结束的具有最短特性的路径，是长方形的对角线，而这长方形的对角线，实际上也就是那个直角三角形的斜边。
所以，线段AB的长度也就是根号一百三十六，其结果等于二倍根号三十四，换算成数值是十一点六六米。而这又可以推出二者相等，即有此等式成立。
答：从 A 到 B 的最短路径长度约为 11.66m。
2. 立体图形中的最短路径
例5：像这样，存在一个呈现圆柱形状的油罐，其底面的周长是12m，高度为5m，有一只蚂蚁打算从油罐底部的A点爬到顶部的B点呢，这里的A、B处于同一条母线上，那么去求这只蚂蚁爬行的最短路径的长度是多少？
解：把圆柱侧面沿着母线展开，会得到一个长方形pg下载麻将胡了A.旗舰厅进体育.cc，该长方形的长是底面周长，其长度为12m，长方形的宽是圆柱的高，此高为5m。在这个时候，蚂蚁的最短路径是长方形的对角线。
根据勾股定理：
最短路径长度中的 l 的平方等于 12 的平方加上 5 的平方，该结果在于能够得到 144 和 25 值且它们相加为 169。
因此，\(l = 13\)（m）。
答：蚂蚁爬行的最短路径长度为 13m。
三、航海与方位问题
在航海、航空等范畴，勾股定理常常被应用于对船只或者飞机航行距离、方位角之类的计算。要解决这类问题，得先依据方向角来确定直角三角形的边，之后通过运用勾股定理去计算出未知量。
1. 直线航行距离计算
有一艘轮船，从港口开始出发，朝着正东方向行进了15km之后，转而朝向正北方向行驶了20km，那么在这个时刻，轮船与港口的直线距离究竟是多少呢？
可以解得，轮船所行驶的路线构建而成了直角三角形，而正东方向的那段距离，以及正北方向的那段距离，是成为直角三角形的其中的那两面直角边，至于正行驶着的轮船与其此刻所在地点港口的直线距离，则恰好能成为该直角三边形的斜边。
根据勾股定理：
距离的平方等于，十五的平方加上，二十的平方，等于，二百二十五加上，四百，等于，六百二十五。
因此，\(d = 25\)（km）。
答：轮船与港口的直线距离是 25km。
2. 方位角与距离综合问题
7 号例子呈现这样一种情况，有一艘渔船在茫茫大海之上进行作业，它先是自 A 点朝着东北方向行进，行进的距离是\(10\sqrt{2}\)海里这才抵达 B 点，而后呢又从 B 点向着东南方向开动了，行驶的刻度是 10 海里并最终到达了 C 点，然后便是求解 A、C 两点之间的间距。
分开来看，东北方向与东南方向二者之间所形成的夹角乃是 90°，所以呢，AB 以及 BC 成为了直角三角形之中的两条直角边呐。
AB的长度是\(10\sqrt{2}\)海里，，BC的长度为10海里pg下载官方版打开即玩v1022.速装上线体验.中国，依据勾股定理，AC的平方等于先计算\((10\sqrt{2})^2\)得200，再加上10的平方得到100后的结果，也就是200加100等于300海里。
因此，\(AC\)等于根号三百，等于十乘以根号三，等于十七点三二（海里）。
答：A、C 两点之间的距离约为 17.32 海里。
四、建筑与工程问题
于建筑施工、桥梁设计等里，勾股定理常运用在测量直角方面，还用于计算构件那长度，以及验证结构稳定性等。此类问题得结合实际场景，把复杂结构给简化成直角三角形模型。
1. 直角验证与施工定位
建筑工人于砌墙之际，要做到确保墙角系为直角。此他们运用一根长度是 25m 的绳子啦 ，依照 3:4:5 的那种特定比例予以划分成三段哟 ，依次为 7.5m呀 、10m呐 、7.5m呢，那究竟该怎么去用这个绳子以便确定直角呢？
解析如下，依据勾股数3、4、5的比例关系，7.5m、10m、12.5m，这里原数据存在修正情况， 25m若按照3:4:5进行分配，那么合理的结果应为7.5m、10m、12.5m ，此7.5m、10m、12.5m满足这样的等式关系，即7.5的平方加上10的平方，也就是56.25加上100，其结果等于156.25 ，而156.25恰好又等于12.5的平方。
操作办法是：把绳子的两个端点固定于墙角的两个点，呈现出两段长度，一段是7.5米，另一段是10米，接着拉紧绳子的12.5米这一段，要是恰好贴合墙角，那么墙角就是直角。
2. 高层建筑高度测量
有测量人员，为测量一座高楼的高度，在距离楼底 30m 的地方架设测角仪，测角仪的高度是 1.5m，且测得楼顶具有 45°的仰角，也就是视线与水平线的夹角，进而对高楼高度展开求解。
分解得出，存在这样一种情况，即视线、水平线以及高楼共同构成了直角三角形，其中的水平距离是30m，此为直角边，并且视线跟高楼之间的垂直距离等同于水平距离，这是因为仰角是45°，所以，高楼的高度等于垂直距离加上测角仪的高度，也就是30加上1.5，结果是31.5m。
答：高楼的高度为 31.5m。
五、动态与折叠问题
在几何动态问题之时，勾股定理常会被用于求解动点运动的距离，于图形折叠这一问题当中，同样常用于求解折叠之后，线段所拥有的长度等情况。而这类问题，均需善于把握捕捉图形进行变化期间不会轻易发生改变的不变量，并且要精心构建起直角三角形的模型，以此来应对处理诸多情况，是这样有所关联的。 、。
1. 折叠问题中的边长计算
如下这般，给出这样一些内容，在一个特定的图示当中，也就是呈现出长方形ABCD这种样式的图示，它是以对角线AC为依据来进行折叠这个操作的，之后点B所处的位置折落到了点B'那里，紧接着呢就出现了一种情况，B'C和AD产生了相交，二者相交的地方出现了一个点E，现在已知AB的长度是4，BC的长度是8，然后要去求出AE的长度。
那么，我们来设定一下，假设AE等于 \(x\)，于是呢从而就可知DE等于8减去 \(x\) ，就是这样。
根据折叠性质可知∠B'CA等于∠BCA。又因为AD平行于BC，所以∠DAC等于∠BCA。由此可得∠B'CA等于∠DAC，所以CE等于AE，且都为 \(x\)。
在直角三角形CDE当中，CE的平方等于CD的平方加上DE的平方，也就是说，x的平方等于4的平方加上8减去x的差的平方。
通过展开得到：\(x^2\)相等 并且值就是 16 予以加上 随后是 64 的和并且二者和值在减去 16x，而后有\(x^2\)，进行化简得以结果为16x等于80，运用求解得出最终答案那就是\(x = 5\）。
答：AE 的长度为 5。
2. 动点问题中的距离计算
于直角三角形ＲｔABC之中，其中∠C等于90°，AC的长度是6，BC的长度为8，有个体Ｐ从点A开始沿着AC朝着点C运动，其速度是每秒1个单位，与此同时另一个体Q从点C出发沿着CB朝着点B运动，速度为每秒2个单位。究竟经过了多少秒之后，PQ的长度会是\(2\sqrt{10}\)？
解：假设，在经历了\(t\)秒的时长后，线段\(PQ\)的长度等于\(2\sqrt{10}\)。
这时，AP的长度为\(t\)，而PC的长度是6减去\(t\)，CQ的长度为2\(t\)。
在直角三角形PCQ当中，PC的平方加上CQ的平方等于PQ的平方 ，也就是 (6减去t)的平方加上(2t)的平方等于(2倍根号10)的平方。
进行展开后得到：36减去12t ，再加 \(t^2\) ，接着加上4\(t^2\)等于40，然后进行化简得出：5\(t^2\)减去12t再减去4等于0。
有这样两个解，一个结果是t等于2，还有一个结果是t等于负的五分之二，然而该结果被摒弃掉了。
时间过去了2秒，此时PQ的长度是\(2\sqrt{10}\)。这里说一下，这是答案给出的内容。
六、应用勾股定理的注意事项
1. 明确直角三角形的前提
勾股定理只适用于直角三角形，在应用之前，要先确认三角形是不是直角三角形，防止在不是直角三角形的情况下，盲目去套用公式。
2. 准确区分直角边和斜边
想要进行计算，就得清楚晓得哪一条边属于斜边也就是最长的边，哪一条边属于直角边，防止因为边的那种属性发生混淆从而致使公式出现误用，像把斜边当成直角边代入到\(a^2 + b^2\)当中。
3. 单位统一与结果合理性
处于实际问题当下，务必要保障每条边长的单位达成一致，所计算得出的结果得契合实际场景，像其中条件为长度要是正数、距离不能超越最大值这类情况，于必要之时要针对结果展开检验。
4. 转化复杂问题为直角三角形模型
在面对诸如曲面、折线这类复杂图形的情形时，需具备擅于借助展开、分割、构造此种方法的能力，把问题转变为直角三角形问题，进而运用勾股定理来达到求解的目的。
七、总结
勾股定理应用于几何计算，贯穿多个领域，还用于解决实际问题，其核心在于构建直角三角形模型，借助“两条直角边的平方和等于斜边的平方”这一关系来解未知量，不管是简单的边长计算，还是最短路径求解，又或是复杂的动态折叠问题范畴，只要抓住直角三角形的边界关系，灵活运用公式变形，便可找到解决问题的突破口。
于应用勾股定理之际，要留意确切知悉直角三角形的前提基础，分辨清楚边的属性类别，达成单位的统一一致，并且着重把实际问题转变为数学模型式样，经由持续长久的练习以及归纳总结，你便能够灵活熟练地运用勾股定理去解决各种各样的问题，由此体会感受数学与现实生活之间强烈紧密的必然联系。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师：. 班级：. 时间：.
1.3 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
它是要求，把实际存在的问题，经由转变，成为直角三角形这种数学模型，并且能够运用勾股定理以及其逆定理，去处理生活里实际上出现的问题，以此来使得学生的应用能力得到发展。
将实际问题给抽象成数学方面的问题，在借此去仔细观察图形，再钻研并且探索图形之间所存在的种种关系之时，由此来发展学生所具备的空间观念，这样在展开对于种种问题加以详细分着重剖析，并进而解决之能力这个行动当中，能够提升将实际相关种种疑问给上升到了数学疑问这样子的进程里，还能够渗透数学建模所拥有的思想内涵。重中之重的教学要点主要是，立体图形以及平面图形范畴之内的最短路径之类的问题，和构造直角三角形那般。
重点
难点
旧识回顾
1．勾股定理的内容是什么？
2．勾股定理的逆定理的内容是什么？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
要是存在一个三角形，它的三条边长分别是a，b，c呢满足a2与b2求和等于c2，这样的话此三角形就是直角三角形了？
问题导入
“引葭赴岸”属《九章算术》里一道题，情形是：现在有个边长一丈的正方形池塘。其中央生着一根葭。这葭高出水面一尺。把它朝着与水池边 perpendicularly 的方向朝岸边拉去。结果其顶端刚好抵达岸边。要问的是这池水的深度是干嘛量的。连着这根葭的长又究竟是多少呢。这儿考查的是：是有个边长为 10 尺的正方形池塘的情境。于水池正当时的中央存在一根刚刚新生的芦苇。它高出水面呈现出 1 尺的状况。要是沿着与水池方面边保持垂直的方向把这根生出的芦苇拉向岸边的话。它的朝上那一端恰好能够到达岸边。如此这般的情况下。请问这个给予局限的水池深度以及这根有着特别指向的芦苇长度又各自都是多少呢。
以小组作为单位，去研究蚂蚁于圆柱体之中的 A 点顺着侧面爬行抵达 B 点的情况。标点符号。
讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？
2.有最短路径吗？若有pg下载，哪条最短？你是怎样找到的？
我要从A点沿侧面爬行到B点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！
知识点 1
利用勾股定理解答最短路径问题
A'
想一想
蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A→B的路线
探究新知
若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则:
12
侧面展开图
12
18÷2
小结：在立体图形里求两点间的最短距离，通常要把立体图形展开成为平面图形，接着连接两点，依据两点之间线段最短来确定最短路线。
A'
A'
AB2=122+(18÷2)2 所以AB=15.
探究新知
设存在一个呈圆柱形状的油罐，现要围绕着该油罐建有一个梯子，使其位置恰好处于油罐处于的A点的正上方的那个点B处，那么所建的这个梯子最短需要多少米呢 （已知该油罐的底面半径是2米，其高AB是5米，π取值为3）
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
因为AA'=2×3×2=12, A'B'=5m,
所以AB'=13m. 即梯子最短需13米.
素养考点 1
利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题
探究新知
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
探究新知
有一个圆柱体，其测量出来的高度是20cm，它的底面半径是5cm，在该圆柱体下底面存在一个被标记为A的点的区域，此处有一只蜘蛛，它有着想要吃到处于上底面、与A点位置相对的被标记为B点区域处的一只已被蛛丝粘抓住陷入无法逃脱困境的苍蝇的想法，那么这只蜘蛛选择从A点开始行动出发，全程沿着圆柱体的这个侧面往B点爬去，所经过路径的最短路程到底是多少的值呢 (π取值为3)？
3 勾股定理的应用
变式训练
巩固练习
解，在图中所呈现情况如下，把一个圆柱的侧面沿着AC这个线条进行剪开，剪完之后展开铺平，之后连接AB线路，那么AB这条线路的长度就是蜘蛛爬行时路程最短的那一段距离。
据题意可知，AC的长度是20厘米，BC的长度是通过乘以2再乘以π然后乘以5得到的，其结果为15厘米。
在ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得
AB2=BC2+AC2=152+202=252,
所以AB=25 cm,最短路程是25cm.
3 勾股定理的应用
巩固练习
牛奶盒
例2，学习了最短问题之后，小明脑筋一转便拿出了牛奶盒，将小蚂蚁放置在了点A处，并且于点B处放上了些许火腿肠粒，你能不能帮小蚂蚁寻找到达成任务的最短路程呢？
6cm
8cm
10cm
素养考点 2
利用勾股定理解决长方体的最短路线问题
探究新知
前（后）
上（下）
右（左）
上（下）
前（后）
右（左）
分析
探究新知
B1
B2
10
B3
AB12=102 +（6+8）2=296
AB22= 82 +（10+6）2=320
AB32= 62 +（10+8）2=360
因为360＞320＞296
所以AB1 最短.
探究新知
处在棱长为10cm正方体盒子上，点A、点B是相对两点，有一只蚂蚁要在盒子表面从A往外爬行到B处以寻找食物，那么所走的最短路程的平方究竟是多少呢？
变式训练
巩固练习
解:如图所示
在RtABC中,利用勾股定理可得，
AB 2=AC2+BC2
=20 2+102
=500
10
10
10
所以AB2=500.
巩固练习
李叔叔怀揣着想要检测雕塑底座正面的AD、BC这两条边，是否各自垂直于底边AB此情形之想法，然而，随身用以检测的，仅仅只有卷尺这么一个工具，是也。
（1）你能替他想办法完成任务吗？
解，连接对角线AC，只要分别量出AB的长度，量出BC的长度，量出AC的长度就行。
AB2+BC2=AC2
ABC为直角三角形
知识点 2
利用勾股定理的逆定理解答实际问题
探究新知
量得AD的长度是30 cm，量得AB的边长是40 cm，测得BD的长度为50 cm，AD边与AB边相互垂直吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.
探究新知
（3）要是随身仅仅有那么一个长度是20厘米的刻度尺，能不能有办法去检验AD边是不是垂直于AB边呢？
解:在AD上取点M,使AM=9,
在AB上取点N使AN=12,
测量MN是否是15，是，就是垂直；
不是，就是不垂直.
探究新知
如图所示，呈现的乃是一位农民在建房之时进行挖地基操作所形成的平面图，按照标准的要求而言，理应为长方形的形状，他在完成挖掘动作之后，对其进行了相关的测量工作，测得AB的长度值为8m，DC的长度值同样是8m，AD的长度值是6m，BC的长度值也是6m，AC的长度值为9m，那么请你运用自身所学的知识内容，来协助他检验一下所挖掘的地基是否符合标准要求呢？
解：因为AB=DC=8m，AD=BC=6m，
所以AB2+BC2=82+62=64+36=100.
又因为AC2=92=81，
所以AB2+BC2≠AC2，∠ABC≠90°，
所以该农民挖的不合格．
素养考点 1
利用勾股定理的逆定理解答测量问题
探究新知
在一个呈现出滑梯样子的示意图里，存在这样一种情况，要是把滑道AC放置成水平状态，那么它恰好会和AB拥有一样的长度。已知滑梯所具备的高度CE的值是3m，还有CD的值为1m，现在要试着去求出滑道AC的长度。
故滑道AC的长度为5m.
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，
AE的长度为（x-1）m.
在RtACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
解得x=5.
知识点 3
利用勾股定理解答长度问题
探究新知
解：连接BD.
在RtABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
所以BD=5cm.又因为CD=12cm，BC=13cm,
所以BC2=CD2+BD2，所以BDC是直角三角形.
= ×(5×12-3×4)=24 (cm2)．
如图情况下在四边形ABCD里，AB与AD呈现垂直状态，已知AD的长度是3cm，AB的长度为4cm，CD的长度是12cm，BC的长度为13cm，求解四边形ABCD这个图形的面积。
素养考点 1
利用勾股定理的逆定理解答面积问题
探究新知
知识点1 勾股定理的应用
（第1题）
1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条
长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为
()
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为
，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中，
设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是()
A.9 B.11 C.12 D.14
返回
3. ［教材例题进行变式］，图①里面是有一首古算诗，依照诗中的表明能够计算。
算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ，
于点，尺，尺。设的长度为 尺，可列
方程为____________________。
返回
4.［教材尝试·思考变式］ 如图，将长方形折叠，使点 与点
重合，折痕为，，，则的长为___ 。
返回
5.［2025西安铁一中月考］如图，小明为了测得学校旗
杆 的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面
点，此时，点到旗杆底部点的距离为 ，他又
将旗绳拉直到旗杆底部点，此时，绳子多出一截 ，
量得多出部分的长度为 ，请你帮他计算出旗杆的高
度。
解：设旗杆的高度为，则 ，
在中，由勾股定理得，解得 。
答：旗杆的高度为 。
返回
勾股定理及逆定理的应用
应用
最短路径问题
方法
认真去审视题目，画出那与题意相契合符合标准的图形，对那勾股定理及其逆定理熟练并且灵活地去用于处理这个问题。
解决不规则图形面积问题
测量问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
