pg下载 斐波那契数列及其应用.docx

聊城大学，本科生毕业论文的题目是，斐波那契数列及其应用，专业代码为070101，作者姓名、学号、单位相关信息记录于此，指导教师为谁，日期是何时，资料内容仅供您学习参考，要是有不当或者侵权的情况，请联系改正或者删除。章节目录，前言，其内容为，从第1页开始，有关于斐波那契数列的阐述，其中包括，先介绍了斐波那契这一人物，接着是对于斐波那契数列的引发介绍，之后是对斐波那契数列通项公式的不一样的若干推导过程，然后是斐波那契数列性质以及其简单证明方式，最后是人体中与斐波那契数列有所关联的知识内容，有关于斐波那契数列与黄金分割的部分，先说明了什么是黄金分割以及黄金分割数，资料内容仅为您学习提供参考，要是存在不恰当或者侵权情况，请联系进行改正或者删除。其二之间的联系，112 . 2如此这般，有关于两个事物关联的阐述，122 . 3黄金分割律于股市当中的运用，123 . 斐波那契数列身处生活里的应用，13301斐波那契数列于几何方面应用，133 . 2斐波那契数列在生物学范畴的应用，143 . 3斐波那契数列于城市交通道路规划领域的应用，15得出的结论，16参考文献，17表达的致谢，18资料这般仅供诸位用于学习的参考，要是存在不妥或者侵权的状况，烦请联系予以改正或者移除。摘要，斐波那契数列自从问世以后，持续展现出它于数学理论以及应用方面的重要作用，并且，斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域均有直接应用，这个数列既是数学美的完美呈现，又和许多数学概念存在紧密联系，许多看似彼此独立的数学概念，经由斐波那契数列，人们发觉了其中的数学关联，进而进一步激发了人们探索数学的兴趣，使得对数学的认知更趋系统化。对于斐波那契数列展开的探究，属于一项极具重要性的研究，它能够给予多样学科颇为良好的用途所在，它又会对我们的生活造成长远的影响，斐波那契数列所具备的前途是难以预计的。关键词为：斐波那契数列；黄金分割；斐波那契数列于生活里的应用。资料内容仅供您用于学习方面的参考，要是存在不妥或者侵权的状况，烦请联系进行改正或者予以删除。大到宇宙整个空间，小到原子分子，从时间跨度到空间范围，从自然现象到人类社会政治、经济、军事等等，各种现象里的规律都能寻觅到斐波那契数存在的踪迹。再看，斐波那契数列是数学里一种重要的特殊数列，在生产生活当中有着重要的应用。本文借助具体的例题，针对斐波那契数列的性质及其应用展开了详细探讨与分析。首先是斐波那契数列，其中，斐波那契数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1240年，他是斐波那契数列的创造者。籍贯大概是比萨，所以，她被人叫做”比萨的列昂纳多”。她在12撰写了《珠算原理》(LiberAbacci)一书。根据史料记载，她是首个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。她早年跟着父亲在北非向阿拉伯人学习算学，之后又在地中海沿岸游历。去埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地游历，回意大利后撰写成《算经》（Liber Abac· 1202，也被译作《算盘书》）。《算经》最显著的功劳是系统地介绍印度记数法，对欧洲数学的面貌产生影响并使其发生改变。斐波那契的其它数学著作有《平方数书》 (VLiberQuadratorum,1225) ，还有《花朵》 (Flos,1225)等，《平方数书》专门论述二次丢番图方程，《花朵》内容大多是菲德里克(Frederick)二世宫廷数学竞赛问题，其中含有一个三次方程/十2x2十10x～-20需要求解，斐波那契论证该方程的根无法用尺规作出（也就是不可能是欧几里得的无理量），她还没有作说明就给出了该方程的近似解(J 一 1.)。她还曾于埃及，以及叙利亚、希腊、还有西西里和普罗旺斯等地去研究数学。那么pg下载通道，关于1.2斐波那契数列的引入，也就是兔子问题，斐波那契数列因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖作为例子而被引入，所以又被称作”兔子数列”。通常来讲，兔子在出生两个月之后，便具备繁殖能力，一对兔子每个月可以生出一对小兔子来。要是所有兔子都不会死，那么一年往后能繁殖出多少对兔子呢。我们暂且拿新诞生的一对小兔子来剖析一下：，第一个月时小兔子没有繁殖的能力，所以依旧是一对，，两个月过后，生下了一对，此时小兔对数总共是两对，，三个月之后，老兔子又产下一对，鉴于小兔子尚无繁殖能力，故而一共是三对，，资料内容仅供您学习参考，要是有不当或者侵权的情况，联系改正或者删除。就这样按照顺序依次类推下去，能够列出如下这样对应的表格：经过的月数分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 ，对应的幼仔对数依次为1、0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89 ，成兔对数依次是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 ，总体对数依次为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233。幼仔对数的规律是等于前一个月的成兔对数，成兔对数的规律是等于前一个月的成兔对数加上前一个月的幼仔对数，总体对数的规律是等于本月的成兔对数加上本月的幼仔对数。从这些数据能够明显地看出，幼仔对数、成兔对数、总体对数它们都各自构成了一个数列。这个数列，有着十分明显的特点，此特点为：它前面相邻的两项之和，会构成其后一项。这个数列，是由意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘全书》之中提出的，它被称作斐波那契数列。这个数列自第三项起，每一项均等于前两项之和。那么，关于斐波那契数列的定义是这样的，数列F1,Fz… ,Fπ… ，其中Fi=Fz=1 ，并且当n≥3时，Fn=Fn - 1+Fn - 2 ，满足这样条件的数列就被称作斐波那契(Fibonacci)数列。非常有趣的一点是，这样一个完全由自然数构成的数列，其通项公式竟然是用无理数用以表示的。它的通项公式是这样的，还有就是关于斐波那契数列通项公式有着若干推导方法，推导方法1是先求满足递推关系。资料内容仅供您学习参考，若有为不当或者侵权的情况，请联系改正或者删除。{aₙ}，是首项为a₁，公比为q的等比数列，其通项公式为aₙ = a₁qⁿ⁻¹。对于满足递推公式aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (1)的等比数列{aₙ} ，其中aₙ = a₁qⁿ⁻¹。于是(1)变形为a₁qⁿ⁻¹ = a₁eⁿ⁻² + a₁qⁿ⁻³ ，整理为q² = q + 1 ，用求根公式可解得。可见 ，满足条件(1)的等比数列有两个公比。如果等比数列{aₙ}满足条件a₁ = a₂ = 1 ，是首项为a₁，公比为q的等比数列，其通项公式为aₙ = a₁qⁿ⁻¹ ，则公比为1 ，即不等于q₁也不等于q₂ ，因此不可能满足条件(1)。然而pg下载渠道，要是把满足条件（1）的那两个等比数列，一项一项地加起来从而得到数列{cn}，{cn}等于{a?+b }，也就是{a+b，aqi+bqz，aqi+bq2… ，（2），那么数列（2）依旧满足条件（1），要是能够恰当地挑选a，b使得ci=cz=1，也就是（3），那么{cn}就契合斐波那契数列{F}所具备的全部条件。不难看出，满足条件的斐波那契数列{F。是独一无二的。由于满足条件(3)的a,b所决定的数列(2)就是所求的斐波那契数列，所以因为qi,q2已知，能够把条件(3)看成以a,b为未知数的二元一次方程组，解出来后，又因为qi+qz=1,qz - 1= - qi,1 - qi=qz,且qz - qi= - √ 5，所以这里得到了斐波那契数列的通项公式资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。最终因此得出所求内容供您学习参考，不当或侵权请联系处理。求解推导方法1的关键之处在于，存在满足条件(1)的两个等比数列{an}与{b.}，它们的和{c}依旧满足条件(1)，这里{c}通常不再属于等比数列，通过恰当选择{an}以及{b.}，能够使得{c}的前两项均为1。推导办法二，初等代数法，已知ai等于1，az等于1，an等于an减1加上an减2，首先，构造等比数列，设an加上aan减1等于β倍的(an减1加上aan减2)，化简后得a，等于(β减α)ag减1加上αβa减2，与式(1)比较系数可得，资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除，不妨设β0，α0解，因此有an加上aan减1等于β倍的(an减1加上aan减2)，即{a。加aan减i}是等比数列，求出等比数列{a。加αan减i}，由以上能够得到，an加1加can等于(az加aa1)β的°加1，等于(1加α)β的*加1，等于β”，变形可得，求数列{b.}，进而得出{a, }，解得pg下载官方版打开即玩v1022.速装上线体验.中国，因此数列{b。加γ}是等比数列，所以有资料内容仅供您学习参考，要是有不当或者侵权，请联系改正或者删除，又b等于，可以得出a。 的表示式，到此，我们就推导出了斐波那契数列的通项公式。推导方法三三三三，你们都清楚清楚清楚斐波那契数列的性质是从第三项起始起始起始，往后每一项均为前面二项的和和和，也便是便是便是数列得符合式（（（1）的条件条件条件 ， 而这个那个则属于线性递归数列数列数列，这样这个这个数列拥有其普遍平常通常平常平凡的表示式为为为：Pan加上加上加上qa?。1加上那个加上ran 2等于零零零零）！（！（！式（（（4）改变转变变换变形为为为：a。负的，括号内阿尔法加上贝塔的和，再乘以前一项an减一，加上阿尔法倍的贝塔，再乘以前两项an减二，等于零，这是式子(5) ；比较式子(1)，式子(4)，式子(5)的系数，得到：式子(6)，式子(7)；式子(6)，式子(7)；资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除；由此可知，阿尔法，贝塔是方程的第二个根，它的根称为特征根；此数列的递推公式：an等于an减一，加上an减二，a。将“-an-1 - an-2 = 0其中p = 1,q = r = -1”改写为：存在这样的情况，当p取值为1，q取值为r且都为-1时，则有-an-1减去an-2等于0。它变为“x2 - x - 1 = 0”的过程是：px2 + qx + r = 0(n2)被转化，转变为x2 - x - 1 = 0。把α,β代入以后，代入an - (α + β)an - i + αβan - 2 = 0式子，呈现出一种代入后的状态，并且因为ai = az = 1，所以出现了进一步的变化状态。资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。因1此则资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。这里面若存在等比数列，其第一项是某个值，公比是另一个值，这样一来，那我们能够得出斐波那契数列的通项。1.4斐波那契数列性质及其简单证明，性质1是，Fi加上Fz一直加到Fn等于Fn加2减1。资料内容仅仅供您学习进行参考，要是有不恰当或者侵权的情况，烦请联系进行改正或者删除。性质2，Fi加上F?加上省略号加上F2zn减去1等于F2n，Fz加上F4加上省略号加上Fzn等于F2n加上1减去1，性质3，Fz加上Fn加上1加上省略号加上Fa加上s等于11Fn加上6，性质5，性质6，其中，n都从0开始取，性质1的证明，用数学归纳法，当n等于1时，左边等于等于1，右边等于F?减去1等于2减去1，因此左边等于右边，即n等于1时，等式成立，假设n等于k时，等式成立。就有Fi加上Fz一直加到Fk等于Fx加上2再减去1，那么当n等于k加上1的时候，Fi加上Fz一直加到Fk再加上Fk加上1等于Fk加上2减去1再加上Fk加上1，等于Fk加上z加上Fx加上1再减去1，等于Fk加上3减去1，等于F(k加上1)加上2减去1，也就是n等于k加上1时，等式同样成立。综合(1)(2)，对于全部正整数，Fi加上Fz一直加到F。等于Fg加上2减去1都成立。证毕。经过长期的数据统计，人们发现了一个很有趣的现象，那便是人的身体的各种比例也暗合斐波那契数列，而这从另一个方面说明了斐波那契数列的奇妙，至于其它的性质，都能够利用数学归纳法类似证明，此处不再赘述。1 . 5 人 参考。人体各个部位的比例之中好多都契合黄金分割比或者其倒数，腰以下长度与身高的比值等于0.618，腰以上长度与腰以下长度的比值等于0.618，颈至腰长度与腰以上长度的比值等于0.618，颈以上长度与颈至腰长度的比值等于0.618，身高与腰以下长度的比值等于1.618。资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。我们来看看这些比值，腰以下的长度去除以腰以上的长度，其结果等于1.618，而腰以上的长度再去除以颈至腰的长度，得到的结果同样是1.618，颈至腰的长度又去除以颈以上的长度，所得结果还是1.618，身高去除以腰以上的长度，结果为2.618，腰以下的长度去除以颈至腰的长度，结果是2.618。并且，你对于自己的手臂究竟了解多少呢？颈以上的长度去除以小臂的长度等于0.618，小臂的长度去除以腰以上的长度等于0.618，小臂的长度去除以颈以上的长度等于1.618，腰以上的长度去除以小臂的长度等于1.618，腰以下的长度去除以小臂的长度等于2.618。2. 斐波那契数列与黄金分割2.1何为黄金分割与黄金分割数早在古希腊时代，那时的人们就已经认识到0.618的神奇，并将其称为黄金分割率。因其对那数字的神奇之感以及偏爱之情，它在建筑、绘画等诸多领域被广泛运用，从巴台农神庙到美国纽约的众议院大楼，甚至基督十字架的分割比例亦由其定义，黄金分割率成了西方人追求外在美之所循内在规则。与此同时，人们渐次意识到黄金分割率广泛见于自然界中，近乎无所不在，从花朵图案、棕榈树叶到肚脐对人体的分割。接下来，我们瞧瞧黄金分割究竟是如何被定义的：通常来讲，设定已知的线段AB，要是AB上的点C把AB划分成了两段，使得大的那一段成为全段与小段的比例中项，（就例如图2那样）也就是AC² = AB·BC ，那么就称点C将线段AB通过内分的方式形成了中外比。下面针对把线段AB分成为中外比的内分点展开一番分析。2.2二者之间存在联系，在黄金分割被应用了很长时间之后，斐波那契出版了一本名为《关于算盘的书》，在这本书当中，她借一个简洁的数学题引出了斐波那契数列的概念，而这个问题正是咱们先前谈论到的兔子问题。问题的剖析并非繁杂，并且我们还能够获取一个规律，那就是每月末的家兔数量会产生如下变动：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…… ，数列里前两项相加得出数列的下一项，这便是斐波那契数列。把数列中相邻两数的前一个数除以后一个数，其极限结果就是黄金分割率”-- 0.618。2.3黄金分割律于股市里的运用，黄金分割乃世界上一种古老办法，当中的魅力使人为之沉醉，其作用亦是数不胜数，好多性质人们如今都还未给出明确阐释，只是在偶然应用之际发觉它起着至关重要的作用，在此处，我们将说明怎样获取黄金分割线，且依据它们指导下一步买卖股票的操作。第一步，要获取黄金分割线，就需牢记如下数字，它们分别是0.191，0.382，0.618，0.809，1.191，1.382，1.618，1.809，2.191，2.382，2.618，2.809 ，其中0.382，0.618，1.382，1.618是最为关键的，股票的价格极易在由这4个数延伸出的黄金分割线处形成支撑以及压力。第二步会是寻得一个点，这个点是上升行情终结后调头向下的那个最高点，又或者是下降行情结束后调头向上时的最低点。我们当然清楚，这里所讲的高点以及低点，均是针对一定范围而言，并且是局部性质的。只要我们能够确定，这个趋势，不管是上升趋势还是下降趋势，已然结束或者暂时结束，那么这个趋势的转折点，就能够当作进行黄金分割的点。一旦这个点被选定，我们便能够画出黄金分割线了。资料内容仅供您学习参考，如有不当。